在 Decision Science News 的博客上看见一篇文章用动画显示一个反直觉的问题。大意如下:一个房间里有一百人,每人手里一百块钱,每隔一定时间所有人都拿出手里的一块钱随机送给另外一个人,问过一阵子之后这房间里的钱的分布是怎样的。
我跟这个博主 2008 年在德国的 R 会议上见过一次,他应该还记得我,因为我发现他这些年来一直对动画都很有兴趣。我从黑客新闻上看见的这篇文章;粗读之后觉得是有点反直觉,因为随机送钱最后的分布应该还是会保持均匀分布。后来我仔细想了想,觉得不对劲,可能被这里的动画给骗了,尤其是下面蓝色的分布图。他想展示的结论大概是最终这些钱的分布会很不均匀,即使随机互相给钱,最后也会有贫富差距;然而问题可能就出在这个“分布”上。虽然我很讨厌统计学的学术训练(读博读研)总是要从源头学起,但偶尔从源头想问题还是值得的。比如每当说分布的时候,需要问清楚随机变量是什么,到底是谁的分布?我认为这篇文章里并没有定义清楚。
上图的意义很清楚,显示每个时刻每个人手里的钱的数量。下图的欺骗性来自于它把所有人排序了,而每一个时刻,横轴实质上都在变化。比如上一个时刻排名第 10 的人,下一时刻可能会换到 28。这个变化并没有在动画中显示出来,让人很容易误解为最左边最穷的那个人一直是同一个人,最右边最富的那个人也一直是同一个人,所以这个系统里有稳定的贫富差距。
那到底是谁的分布?如果看 $\mathrm{P}(X_1=m_1,X_2=m_2,\ldots,X_n=m_n)$
这个分布(其中 $X_i$
表示第 $i$
个人的钱数随机变量,$\sum m_i=100*100$
),我感觉应该会是一个多元均匀分布,但我也不太确定,因为这些 $X$
之间不独立,它们的和为一个定值。不过有一点应该是确定的,该文中下图显示的是顺序统计量 $X_{(i)}$
的取值情况。对单个的顺序统计量来说,它的分布肯定不会是在原来随机变量取值区间上的均匀分布。
说白了,画一幅图 plot(runif(100))
可能不会吓到人,一眼看去很随机很均匀,很符合直觉;画排序之后的图给人感觉就不一样了,尽管仍然是均匀分布,但 plot(sort(runif(100)))
会给人造成一种很不均匀的错觉。
所以图形虽然直观,但骗起人来也是妥妥的。我 2009 年就自己骗过自己一回,以为发现了什么不得了的关系,到头来只是一场空。